Consideración de la teoría de segundo orden en análisis dinámico

Der Empfindlichkeitsbeiwert θ ist wie folgt definiert [1]:

Los efectos de segundo orden se pueden considerar aproximadamente mediante un factor igual a 1/(1 − θ), si 0,1 < θ ≤ 0,2. Für θ > 0,2 ist die geometrische Steifigkeitsmatrix bei der Berechnung der Eigenwerte und bei der Berechnung des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens zu berücksichtigen.

Matriz de rigidez geométrica

Für dynamische Analysen sind iterative Berechnungen zur nichtlinearen Bestimmung der Theorie II. Ordnung nicht geeignet. Das Problem kann linearisiert werden und es ist hinreichend genau, die geometrische Steifigkeitsmatrix auf Basis der axialen Lasten zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung heranzuziehen. Dabei wird angenommen, dass die vertikalen Lasten sich aufgrund horizontaler Einwirkungen nicht ändern und die Verformungen klein sind verglichen mit den Gebäudeabmessungen [2]. Die zu berücksichtigenden Lasten sollten denen der Bemessungssituation für Erdbeben nach EN 1990 Abschnitt 6.4.3.4 [3] entsprechen:

Axiale Zugkräfte erhöhen die Steifigkeit, wie beispielsweise bei einem vorgespannten Seil. Druckkräfte setzen die Steifigkeit herab und können zu einer Singularität in der Steifigkeitsmatrix führen. Die geometrische Steifigkeit K_g ist nicht abhängig von den mechanischen Eigenschaften des Systems, sondern nur von Länge L und Normalkraft N im Stab. Um das grundlegende Problem darzustellen, wird vereinfachend auf einen Kragarm zurückgegriffen, dieser ist in Bild 1 dargestellt. Die einzelnen Massepunkte des Kragarms stellen die einzelnen Geschosse eines Gebäudes dar. An diesem Gebäude soll eine dynamische Analyse unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung durchgeführt werden. Die Normalkräfte N_i in den einzelnen Geschossen i = 1…n ergeben sich aus den Vertikalkräften in der Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2). Die Geschosshöhe ist mit h_i definiert.

Reducción de un edificio a una estructura en voladizo. Los puntos de masa individuales representan los pisos. La flecha debida a los esfuerzos normales de compresión mostrados en (a) se (b) convierte en momentos de desplazamiento equivalentes o esfuerzos cortantes [2]

Die geometrische Steifigkeitsmatrix K_g kann über die statischen Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet werden:

Para simplificar, aquí solo se muestran los grados de libertad del desplazamiento horizontal. La derivación que se muestra se basa en el enfoque del momento de vuelco debido a la aplicación del desplazamiento lineal. Esta es una simplificación para el elemento de flexión y una hipótesis precisa para el elemento de cercha. Se puede obtener una determinación más precisa de la matriz de rigidez geométrica para las barras de flexión utilizando la aproximación de desplazamiento cúbico o la solución analítica de la ecuación diferencial de la línea de flexión. Werkle [4] proporciona más información sobre teorías y derivaciones. Die geometrische Steifigkeitsmatrix K_g wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix K_mod:
K_mod = K + K_g (4)

En el caso de los esfuerzos normales de compresión, esto conlleva a la reducción de la rigidez.

Ejemplo: Eigenfrequenzen und multi-modales Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung

Nachfolgend wird gezeigt, wie die geometrische Steifigkeitsmatrix in RFEM und den Zusatzmodulen RF-DYNAM Pro berücksichtigt werden kann. Als Beispiel wird der in Bild 1 dargestellte Kragarm verwendet. Der Kragarm besteht aus fünf konzentrierten Massepunkten. Hier wirken jeweils 4.000 kg in die globale X-Richtung.

El peso propio y las sobrecargas de uso se combinan como cargas en nudo y se definen en dos casos de carga separados

Der Querschnitt ist ein IPE 300 mit einem Material S 235 mit I_y = 8.356 ∙ 10^-5 m⁴ und E = 2,1 ∙ 10¹¹ N/m². Um die geometrische Steifigkeitsmatrix bei einer dynamischen Analyse berücksichtigen zu können, wird zunächst im Hauptprogramm RFEM eine Lastkombination für die Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2) definiert.

Definición de una combinación de carga para la situación de proyecto sísmica (ecuación 2) y los esfuerzos axiles resultantes. Estas fuerzas axiales se utilizan para determinar la matriz de rigidez geométrica.

Mit RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen werden Eigenfrequenzen, Eigenformen und effektive Modalmassen einer Struktur ermittelt, dies kann unter Berücksichtigung verschiedenster Steifigkeitsmodifikationen geschehen (siehe Kapitel 2.4.7 im RF-DYNAM Pro Handbuch [5] und im Dlubal-Blog [6]). Zwei Eigenschwingungsfälle sind definiert. Im ESF2 wird die LK1 zur Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix und damit zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung importiert. Zum Vergleich ist der ESF1 definiert, dieser enthält keine Steifigkeitsmodifikationen.

Parámetros para la determinación de valores propios en RF -DYNAM Pro - Natural Vibrations

In der nachstehenden Tabelle sind die ermittelten Eigenfrequenzen f [Hz], Eigenperioden T [sec] und die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte S_a [m/s²], mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix K_g resultierend aus den Normalkräften aus LK1, aufgelistet.

Frecuencias naturales, períodos naturales y valores de aceleración

Beim multi-modalen Antwortspektrenverfahren werden mit Hilfe der Eigenfrequenzen die Beschleunigungswerte aus dem definierten Antwortspektrum abgelesen. Diese Beschleunigungswerte sind Grundlage für die Ermittlung der Ersatzlasten und Schnittgrößen des Antwortspektrenverfahrens. Die grafische Darstellung des benutzerdefinierten Antwortspektrums ist in Bild 6 gezeigt, die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte S_a [m/s²] für jeden Eigenwert sind in vorstehender Tabelle gelistet.

Espectro de respuesta definido por el usuario

Um eine richtige Zuordnung der modifizierten Frequenzen sicherzustellen, muss der richtige Eigenschwingungsfall (ESF) im Dynamischen Lastfall (DLF) zugewiesen werden.

Asignación del caso de vibración natural al caso de carga dinámico para determinar las cargas equivalentes

Die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix führt im Falle von Drucknormalkräften zu einer Verringerung der Eigenfrequenz und kann, wie in diesem Beispiel, zu geringeren zugehörigen Beschleunigungswerten S_a führen. Die Modifikation der Eigenfrequenzen alleine reicht nicht aus, um die Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, vielmehr kann dies sogar zu kleineren Ergebnissen führen und damit auf der unsicheren Seite liegen. Es ist sehr wichtig, die modifizierte Steifigkeitsmatrix auch für die Ermittlung der Schnittgrößen und Verformungen zu verwenden. In RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die modifizierte Steifigkeit automatisch zur Ermittlung der Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens verwendet, da hier die Berechnung innerhalb von RF-DYNAM Pro stattfindet. In RF-DYNAM Pro - Ersatzlasten werden Ersatzlasten ermittelt und in Lastfälle ins Hauptprogramm RFEM exportiert. Die Berechnung findet damit teilweise in RF-DYNAM Pro und teilweise in RFEM statt. Theoretische Hintergründe zur Berechnung der Ersatzlasten finden sich im RF-DYNAM Pro Handbuch [5]. Ein Verifikationsbeispiel [7] zeigt die Berechnung an einem konkreten Beispiel. Die ermittelten Ersatzlasten, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 8 dargestellt.

Cargas equivalentes para la primera deformada del modo (a) sin modificaciones de rigidez de DLC1 y (b) teniendo en cuenta la matriz de rigidez geométrica de DLC2

Der Export der Ersatzlasten hat viele Vorteile, aber eine korrekte Übernahme der Steifigkeitsmodifikation in die Lastfälle ist wichtig. Die Berechnungsparameter der exportierten Lastfälle müssen, wie in Bild 9 gezeigt, modifiziert werden.

Parámetros de cálculo de casos de carga con cargas equivalentes exportadas: Die geometrische Steifigkeitsmatrix muss auch hier berücksichtigt werden, dafür werden Normalkräfte aus der LK1 importiert

Die einzelnen Lastfälle werden mit der SRSS- oder CQC-Regel überlagert. Dies wird automatisch von RF-DYNAM Pro gesteuert und in Ergebniskombinationen exportiert. Die Ergebnisse, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 10 dargestellt.

Deformaciones u_X, momentos M_Y y reacciones en apoyos P_X resultantes del método del espectro de respuesta multimodal (a) sin modificaciones de rigidez de DLC1, y (b) teniendo en cuenta la matriz de rigidez geométrica de DLC2

Die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix führt zu größeren Verformungen und Schnittgrößen. Die angreifenden Ersatzlasten und resultierenden Auflagerlasten hingegen sind etwas kleiner unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix.

Bibliografía